一、不動點的概念與性質
對於函式
，若存在實數 ，使得 ，則稱 是函式 的（一階）不動點。
同樣地，若
，則稱 是函式 的二階不動點。容易發現，對於一階不動點 ，有 ，因此一階不動點必然是二階不動點。
在幾何上，曲線
與曲線 的交點的橫座標即為函式 的不動點。
一般地，數列
的遞推式可以由公式 給出，因此可以定義遞推數列的不動點：對於遞推數列 ，若其遞推式為 ，且存在實數 ，使得 ，則稱 是數列 的不動點。
數列的不動點有什麼性質呢？若從某一項
開始，數列的取值即為 ，也即 ，則 ， ，以此類推，根據數學歸納法，可以得到當 時， ，也即數列 在 之後“不動”了。
有時候，數列
中的值可能無法取到 ，但是會“接近” ，也即收斂於 。所謂“收斂”是指當 充分大時，數列 趨向於某個值 ，也即 ，代入遞推式即可得到 。
值得注意的是，不動點也可能不存在（或者說為複數）。
文章的最後將會給出一個非常有意思的例子。
二、一階線性遞推數列
所謂“一階線性遞推數列”非常常見，是指下面的這種數列：若數列
滿足 ，其中 ， 是給定的實數，求數列 的通項公式。
一般來說，當
時，原數列即為公差為 的等差數列，故 。
當
時，我們可以透過待定係數法構造一個公比為 的等比數列：假設存在實數 ，使得 ，展開得到 ，解得 。
因此數列
是等比數列，累乘得 ，移項後即可得到通項公式為 ，其中 。
事實上，上面得到的
非常特殊：可以發現 滿足方程 ，也即 是數列 的不動點。這便可以給我們啟發：形如 的遞推數列，在處理的時候可以分以下兩種情況：
（1）
，可以求出它的不動點 ，之後 為等比數列；
（2）
，此時不動點不存在， 是等差數列。
並且由上面的例子得到啟發，在數列的遞推式兩邊減去不動點，可以得到較為特殊的結構。
接下來來看一個比較簡單的例子：
例1
設數列
滿足 ， ，求數列 的通項公式。
解
令
，解得不動點 ，因此變形得到 。
也即
是等比數列，且 ，累乘得 ，因此 。
由此看來，不動點法雖然可以說是“花裡胡哨”的方法，但是在解決問題時比待定係數法直接得多。
三、分式遞推數列
接下來我們來看分式遞推數列，這也是不動點法主要應用的範圍。所謂分式遞推數列是指以下型別：若數列
滿足 ，其中 ， ， ， 是給定的實數，求數列 的通項公式。
這時候要求它的不動點，考慮方程 ，得到了一個二次方程！情況就比上面的題目複雜得多了。我們從幾個例子出發：
例2
設數列
滿足 ， ，求數列 的通項公式。
考慮方程
，故 是數列 的不動點，根據上面的思路，嘗試在遞推式兩邊同時減去 ，得到 。
注意到左右兩邊分別出現了
和 這樣相似的結構，並且都是在分母，我們可以嘗試構造新數列 ，當然也可以直接變形：
也即
，因此數列 是首項為 ，公差為 的等差數列，累加得 ，因此 。
例3
設數列
滿足 ， ，求數列 的通項公式。
同樣地，考慮方程
，這時候數列 有兩個不動點 和 ，分別在遞推式兩邊減去 和 後，可以得到： ， 。
兩式相除得
，因此數列 是首項為 ，公比為 的等比數列，累乘得 ，因此 。
做一個小小的總結：形如 的遞推數列，處理時也可以分兩種情況：
（1）若其有一個不動點
，則 是等差數列；
（2）若其有兩個不動點
， ，則 是等比數列。
當然，分式遞推數列不只有上面那種簡單的情況，可以看下面這個例子：
例4
設數列
滿足 ， ，求數列 的通項公式。
事實上， ，這不同於上面的型別，但是否可以用同樣的方法處理呢？
同樣嘗試求它的不動點：
，因此 和 是數列 的兩個不動點，變形得到： ， 。
兩式相除得
，又 ，迭代得到 ，由此解得數列的通項公式 。
由此看來，對於比較複雜的分式型遞推數列，也可以透過減去不動點來進行代數變形，
從而使等式的兩邊出現類似的結構，更易於處理。
四、沒有不動點的情況？
其實我覺得吧，這裡才是這篇文章比較精彩的地方。這就是我在開頭講的，
比較有意思的不動點不存在的情況。
例5
設數列
滿足 ， ，求數列 的通項公式。
考慮方程
，
這時候數列的不動點不存在！
但將不動點擴充套件到複數域內，可以得到
與 是數列 的兩個不動點，接下來根據複數的四則運算，我們看看能得到上面結果： ， 。
兩式相除得
，又 ，迭代得 ，由此解得 ，並且根據上面的遞推公式可以知道，
數列的通項公式雖然由複數給出，但是每一項都是實數。
當然，這道題目還有一種比較漂亮的做法：注意到
，根據 變形即可得到 。
因此作換元
，整理得到 ，因此 是等比數列，又根據 得到 ，故 ，因此 。
透過這個例子也可以看出“三角複數不分家”。
經
數列必定是週期數列，例如上面的這個例子。
說到這個，才想起一個新的例子：
例6
設數列
滿足 ， ，求數列 的通項公式。
其中
，因此數列以 為週期。
考慮方程 ，此時數列也沒有不動點（或者說不動點為複數）
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