對於這樣的問題，數學還不夠成熟
以上是數學家保羅-埃爾德什（Paul Erdos）對我們將要討論的問題的評價。在我討論完這個問題後，你可能會覺得，原來這麼簡單的問題也可以這麼複雜。我們開始吧！
猜測一個正整數x，帶入下面的分段函式進行運算。
如果是偶數，就除以2；如果是奇數，就乘以3再加1，這樣就又成了偶數，然後再除以2了。
假設你想到的數字是21。21是一個奇數。所以，（3×21+1）=64。64是一個偶數，用它除以2，得到32。同樣，32也是偶數，進一步得到16。又是一個偶數，再進一步得到16/2=8。最終得到的是1。
現在，1是一個奇數。所以用它乘以3，再加上1，得到（3×1+1）=4。由於4是偶數，我們得到4→2→1。
現在，問題“陷入”了一個4→2→1的迴圈。
再想一個數字，比如7。7變成22，再變成11。然後就像下面這樣繼續下去：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
以7開頭也是如此，最終進入了4→2→1的迴圈中。
這被稱為“科拉茨猜想”（ Collatz Conjecture）。科學家們已經檢驗了“無數”個數字，準確地說，檢驗了2^68個數字，都遵循這個猜想。
這個猜想是以洛塔爾-科拉茨（ Lothar Collatz）命名的。他在1937年提出這個猜想。它還有很多名字，如3n+1問題、3n+1猜想、烏蘭猜想（以斯坦尼斯瓦夫-烏蘭命名）、角谷問題（以角谷靜夫命名）、斯韋茨猜想（以布萊恩-斯韋茨爵士命名）、哈斯演算法（以赫爾穆特-哈斯命名）以及錫拉丘茲問題。
第一眼看這個猜想，可能會覺得它是一個“結論”，但到目前為止還沒能證明，也沒有找到反例。我估計任何一個人都會覺得“應該很簡單”，而產生去證明的衝動！我的建議是不要去嘗試，那是一個深淵，會讓你深陷其中而一無所獲。
科拉茨圖
數學家們研究表明，幾乎所有的科拉茨數列最終都會變成一個比開始數字更小的數字。陶哲軒用偏微分方程證明，99%的數字最終將變成一個相當接近於1的數值。陶哲軒可能現在最偉大的數學家（之一），他也只差一點就能證明這個猜想。
你可以儘可能地接近科拉茨猜想，但它仍然遙不可及——陶哲軒
用3x+1得到的數字被稱為冰雹數字，為什麼？因為如果你用圖形繪製它，它們就像雷雲中的冰雹一樣上下起伏。但每個數字的圖形都是相當不可預測的。
例如，26只需要10步就能達到1。達到1之前的最大數字也只是40。它是這樣的：
26→13→40→ 20→10→5 → 16→8 →4→2 → 1
但是如果我們以數字27為例，需要111步才能達到1。而達到1之前的最大數字是9232。這個序列是這樣的。
27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→ 4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5 → 16→8 →4→2 → 1
同樣，28、29和30只需要18步就能達到1。但是31需要106步才能達到1。數學家們能找到的唯一規律就是沒有規律。
數字50，000的科拉茨數列中每一步的圖形表示。
這是一個數字（我們取了50，000）達到1的每一步的圖。如果取對數，並去除線性趨勢，得到的只是一個幾何學上的布朗運動。所有的波動都是隨機的。
根據統計，從1開始的10億的數字中有29。94%的數字以1開頭（最高位為1），有17。47%的數字以數字2開頭，有12。09%的數字以數字3開始，大概60%的數字以1，2，3數字開頭。對於更大的數字，如4、5、6……百分比就會下降。這種分佈被稱為本福德定律（Benford’s law）
。本福德定律甚至被用來檢測銀行的稅務欺詐和交易欺詐。
回顧上面的那張科拉茨圖，如果每一個數字都遵循這個猜想，那麼每一個數字都是無限擴充套件的樹的一個分支。下面我們用這棵樹做一些很酷的事情。
如果根據數列中的數字是奇數還是偶數，對路徑上的每個點進行旋轉，再加上一些漂亮的顏色，將得到一個類似珊瑚的結構。
科拉茨樹以藝術方式的視覺表現。在上圖中，我以藝術的方式表示了從1到50，000的數字，得到了一個看起來很有機的結構。
你可能會認為，既然我們已經檢驗了2^68個數字，並且所有這些數字都遵循了這個猜想，那麼它肯定是真的。但這不能被當作數學中的證明。
波利亞猜想（Polya Conjecture）由匈牙利數學家喬治-波利亞在1919年提出，在1958年被C-布萊恩-哈塞爾格羅夫（ C。 Brian Haselgrove）證明為假。反例的數值是1。854×10^361。
這讓我們想到，雖然大多數數學家都在努力證明這個科拉茨猜想，但也許它不能被證明。就像波利亞猜想一樣，可能有一個大得離譜的數字也不遵循科拉茨猜想。
我們可以嘗試在猜想中尋找一些更多的模式。下面的圖展示了前50，000個數字以及每個數字達到1所需的步驟。
前50，000個數字和每個數字達到1所需的步驟。它看起來像是兩股從0出發，在100-150之間的某個地方匯合的“流”。我們還可以看到一些奇怪的直線水平線。還記得28、29和30都是用18步達到1的嗎？所以這三個數字在圖中形成了一條直線。從圖中，我們可以看到有多個這樣的數字組合，它們用完全相同的步數達到1。
讓我們把前50，000個數字和函式log（x）一起繪製出來。現在，對於任何2的冪，log（x）是達到1所需的步數。更簡單地說，數字2^n在n步內達到1。
我們看到log（x）作為函式的下限的作用。
回到猜想的證明上，有兩種可能性。一種是有人證明了猜想的真假。或者是猜想是一個不可判定的問題。
英國數學家約翰·康威（John Conway）在1987年對這個問題進行了概括。他假設有一臺數學機器，他命名為“弗拉特朗（Fractran）”。他還假設這臺機器是圖靈完備的，這意味著它基本上可以做現代計算機能做的任何事情，但也有可能發生停機問題（halting problem ）。
停機問題是邏輯學的焦點，也是第三次數學危機的解決方案。其本質問題是：給定一個圖靈機 T，和一個任意語言集合 S，是否 T 會最終停機於每一個s∈S。其意義相同於可確定語言。顯然任意有限 S 是可判定性的，可列的（countable） S 也是可停機的——百科
因此，科拉茨猜想有可能也是一個停機問題的物件。在這種情況下，我們可能永遠無法證明科拉茨猜想是真還是假。
3x+1問題向我們展示了數學是多麼不成熟。這個問題可以描述給一個五年級的學生，但仍然沒有人能夠證明或舉出反例。我們無法解決這樣一個簡單易懂的問題，可能是非常令人沮喪的，但這就是數學的本質。
