作者：
徐凱
，原清華大學數學系數 41 班，現在哈佛大學數學系攻讀博士。
本文發表在清華大學數學系本科生學術雜誌《荷思》（第 15 期，2021 年），《數理人文》（訂閱號：
math_hmat
）經《荷思》和作者授權轉載。
清華大學 2021 年新領軍綜合測試中有如下一道試題：
問題.
要求矩陣滿足條件：
只有三種元素 -1， 0， 1；
每一行每一列不全為 0；
去掉 0 後每行每列均為 1， -1， 1， 。。。， -1， 1。
已知這樣的三階矩陣有 7 個， 求四階的有多少。
這道題目雖然表述完全初等， 但背後蘊藏非常豐富的結構， 是中學階段的同學接觸現代數學之深邃高明十分難得的機會， 故撰此文聊作剖析， 以為引玉之磚。 本文主要證明來自 G。 Kuperberg。
1。 變號矩陣到六頂點模型
我們首先重新表述變號矩陣的計數問題， 將其化歸為統計力學中的六頂點模型。
在六頂點模型中， 我們關心平面上每邊帶定向， 並且每個頂點恰好有兩條邊進入兩條邊離開的正方形圖， 每一個這樣的圖稱為一個態（state）。 給定一個態， 在每個頂點附近有如下六種可能的定向：
我們為每一種可能
賦一個權重
， 每個頂點的權重相乘定義為圖的權重， 而（滿足給定條件的）所有態的權重之和稱為態和（state sum）。 六頂點模型中也可設定邊界條件， 即引入只連一條（給定）定向邊的頂點。 特別的， 我們可以考慮
方形網格， 再加左右兩側向內上下兩側向外的邊界條件， 這個模型稱為方冰（square ice）。 一個方冰態可以用如下對應轉化為一個變號矩陣：（注意這裡的 -1， 0， 1 和權重無關）
並且可以驗證這是一個一一對應。 因此， 變號矩陣的計數問題即等價於六頂點模型所有權重為 1 的態和。 故我們只需求解六頂點模型即可。 六頂點模型可以嚴格求解， 其中的核心結構為 Yang-Baxter 方程（以下簡稱 YBE）。
2。 YBE 的場論來源
這一節中我們簡短介紹 YBE 在場論中的起源。 可積場論可以視為可積格點模型（lattice model）的連續極限。 譬如六頂點模型取時間方向的連續極限得到 Heisenberg 自旋鏈（spin chain）， 時空均取連續極限得到正弦 Gordon 模型， 正弦 Gordon 模型即為最簡單的可積場論之一。 本節內容與後文內容並無邏輯關聯， 僅透過一個自然的來源以啟發 YBE 這一概念， 故相對簡略， 不感興趣的讀者可以跳過本節。
（相對論場論中）可積性是一個僅存在於二維的獨特現象， 事實上， Coleman-Mandula 論證了在更高維度， 倘若存在自旋至少為 2 的守恆荷， 則我們總可以利用相應的對稱性移動粒子到一般位置， 使得他們的軌跡永不相交， 不會發生散射因而
矩陣（即粒子散射過程中初始狀態到最終狀態的線性變換）一定為 1。
但平面上兩條一般位置的直線總會相交， 故以上論證不能成立。 然而我們總能透過移動至一般位置避免三條直線交於一點， 這時所有散射都為兩兩彈性碰撞， 所以全部散射振幅都由彈性碰撞的所決定。 另外， 給定三條定向直線
，
，
， 倘若
，
交點在
左側， 那麼我們總是可以利用前文的對稱性將其移動到右側。 這時得到的構型與先前並不拓撲等價， 二者散射振幅相等需要彈性碰撞的散射振幅滿足一個三次方程， 即為 YBE（這時動量是其中的一個譜引數）。
3。 六頂點模型的解
取一個未定元
， 記
， 對一個帶
標記的頂點
我們為六種定向賦權如下：
這可以視為指定了一個二維場論的彈性碰撞（大小為
的）
矩陣（在可積格點模型中通常稱為
矩陣）， 而 YBE 正是這個可積場論的相容性條件：
定理 1.
（Baxter）若
， 則
-矩陣
，
， 和
滿足如下兩圖對應矩陣相等。
我們首先解釋何為兩圖對應的矩陣： 一言以蔽之， 他們是這個散射圖對應的
矩陣。 每個圖都有六條外邊， 並有自然的一一對應。 他們共有 64 種定向， 每種定向都可以作為邊界條件得到一個態和， 這正是這些矩陣的項。
我們將權重的定義延拓到更一般的定向光滑曲線系統上： 對一種給定的定向方式， 約定每個切線水平向左的點， 若上凸則賦權
， 下凸則
，（切線水平向右的賦權
）， 相乘得到一個單項式。 把每種定向得到的單項式相加， 得到的多項式即為態和。 則有如下的態和表示式
可以看出曲線的貢獻只取決於它的同倫類， 並且
可以表示為
因此一個態和可以表示為對曲線的求和， 其中每個閉圈貢獻一個因子-［2］（這種計算規則起源於 Temperley-Lieb 範疇， 與
的量子群密切相關）。 由此直接計算便可驗證 YBE。 以下我們記
對於
，
， 記
為如下的態和
關於
和
分別都是對稱的： 這可以由 YBE 直接證明， 也可以用第二節中 YBE 的場論推導類似可得。 這對
的結構施加了很強的限制， 透過仔細分析它的零點與極點， 我們可以顯式解得
定理 2.
（Izergin， Korepin）態和
有如下表達
其中
由第一節的論證我們知道
變號矩陣的數量恰好為方冰態數量， 而方冰態中頂點
比
多
個，
，
數目相等，
，
也相等， 所以可得變號矩陣數目為
其中
這是定理 2 中表達式的（可去）奇點， 使用 L‘Hôpital 法則我們可以直接計算得如下表達式（計算細節請參見 ［Kup96］）：
定理 3.
變號矩陣數目為
由此我們就解決了變號矩陣的計數問題。
4。 總結
可積系統對現代數學的深刻影響遠不止於此： YBE 的解通常稱為
矩陣， 是量子群與辮張量範疇的核心資訊， 對其與場論的關係的研究啟發了大量重要的數學。 譬如著名的 Kazhdan-Lusztig 等價聯絡起量子群的
矩陣與共形場論中 Knizhnik-Zamolodchikov 方程解的單性（monodromy）。 又如 Maulik-Okounkov 透過
矩陣構造了瞬子模空間上同調上的量子群作用， 給出了量子場論中 AGT 對應的數學驗證。 希望本文對中學階段的同學們有所啟發， 藉此機會瞭解現代數學中眾多深刻精微的洞見。
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參考文獻
[Kup96]
Greg Kuperberg，Another proof of the alternative-sign matrix conjecture， International Mathematics Research Notices
1996
（3）， 139——150。
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