引言
流行天王邁克爾·傑克遜（Michael Jackson，簡稱 MJ）於 2009 年 6 月 25 日去世，終年50歲。其獨創的特殊舞步太空步（圖 1）和 45 度前傾（圖 2）令人難忘。
圖 1： 太空步
1987 年，MJ 在其音樂錄影帶《犯罪高手》中以一種難以置信的超自然姿態震驚了全世界樂迷—他整個身體向前傾斜 45 度，雙腳卻仍牢牢地釘在地面上，猶如擺脫了地心引力。
圖 2： 45 度前傾
儘管很多人都相信舞王打破了生理學和物理學之間的屏障，但事實是這一奇特舞步的背後隱藏了一種特製舞鞋。MJ 本人也在 1993 年為這種特製的舞鞋申請了專利（圖 3）。
圖 3： 45 度前傾舞鞋專利
2018 年，幾名神經科學家專門研究了 MJ 在世界各地的演出畫面，分析這項特技背後的脊椎生物力學。該研究發表在學術期刊《神經外科雜誌：脊柱》上［1］。論文中介紹道：MJ 掀起了一場無與倫比的 45 度前傾模仿熱潮，觀眾都認為這堪稱奇蹟。
圖 4： 45 度前傾模仿失敗
包括作者在內的諸多 MJ 粉絲都試圖模仿這一動作，然而大部分人都失敗了（圖 4），並且常常還會傷到自己。
圖 5： 45 度前傾的秘密
這項特技早已不是秘密，演出時地面會在恰當的時刻彈出一根釘子，楔入特製的鞋底中（圖 5）。這給了舞者額外的抓地力，否則他就會跌倒。不過，神經學家指出，即使採用了特殊設計的舞鞋，並擁有連線件的支撐，這一動作也難以實現。這需要強健的脊椎、腿部和背部肌肉，以提供能夠對抗重力的力量（圖 6）。研究人員發現，MJ 在完成該動作時跟腱部位承受了相當大的力量。
圖 6： 45 度前傾容易傷到腰背椎和跟腱
本文將建立簡單的數學模型，利用力學平衡原理，計算 MJ 在表演 45 度前傾時，跟腱部位承受的張力大小。
模型
當人體的腳在做足底屈或足背屈時，腳基本上是在繞踝關節中心旋轉（圖 7），且旋轉中心幾乎不變（圖 8）。
圖 7： 足屈時腳繞踝關節中心旋轉
圖 8： 踝關節中心的核磁共振影象
當站立的身體繞踝關節中心向前旋轉超過某個角度時，人體重心位置會超過腳尖，地面支撐力和人體重力作用線將不在同一直線上，地面支撐力將無法維持身體的平衡，重力產生的力矩將使身體傾倒（圖 9）。
圖 9： 人體 45 度前傾受力分析圖
但 MJ 在表演 45 度前傾時，身體並沒有傾倒，主要是因為特製的舞鞋將腳固定在地面上，跟腱肌肉對身體施加了一個反向力矩，與重力力矩平衡（圖 10）。
圖 10： 人體前傾時跟腱肌產生與重力反向的力矩
跟腱是小腿肌肉力量傳達至足部的最主要解剖結構，是人類站立、行走、奔跑、攀登等運動不可或缺的組織。
如圖 9 所示，假設人體質量為
，身高為
，重心高度為
=
，其中
為重心高度與身高的比。則身體向前傾斜
角時，重力對踝關節中心產生的力矩大小為 如圖 10 所示，假設跟腱肌的張力為
，跟腱肌到踝關節中心的距離為
，則跟腱肌對踝關節中心產生的力矩大小為 根據前面的分析，為了保持平衡，重力產生的力矩必須由跟腱肌肉平衡，即
。因此跟腱肌的張力為 如果我們簡單地假設人體質量
與身高
的立方成正比，即
=
。跟腱肌到踝關節中心的距離與身高成正比，即
=
，則上式可以表示為 其中
和
為比例常數。上式表明，跟腱的張力大小是身高
和前傾角度
的函式。
引數
根據公開的資訊［2］，MJ 的身高為
=1。75 m，體重為
= 60 kg。文獻［3］測得成人踝關節旋轉中心與足底屈肌的距離約為
=0。05 m。要應用上文中的模型來計算 MJ 45 度前傾時跟腱肌的張力大小，還需要知道 MJ 身體重心高度。
圖 11： 人體質心測量實驗原理
如圖 11 所示，人體的質心位置可以透過簡單的實驗進行測量［4］。實驗中，讓人體平躺於一塊長為
的平板上，記平板兩端測得的淨重（扣除平板重）分別為
和
。則可根據槓桿原理計算出人體重心高度
，以及重心高度與身高比
： 文獻［4］中給出了男女各 16 人的實驗測量資料，相應的重心高度與身高比的統計結果見圖 12。測量結果表明，所有人的重心高度與身高比相差不大，幾乎都在 0。5-0。6 之間。從平均來講，女性的重心高度與身高比約為
= 0。543，而男性為
= 0。560。因此，可以認為 MJ 的重心高度約為 1。75
0。56 = 0。98 m。
圖 12： 重心高度與身高比的統計
如果我們以 MJ 為標準身材，並假定其它身高的人在各維度上的尺寸僅是 MJ 的一個等比例縮放。則可以計算得到人體質量與身高立方的比例係數，以及跟腱到踝關節中心距離與身高的比例係數： 結果
首先我們應用上述模型計算一下 MJ 在表演 45 度前傾時，跟腱部位承受的力。將上文確定的引數代入模型中可得 MJ 跟腱肌肉張力為： 這個力相當於 MJ 自身體重的 13。9 倍，或相當於 832 kg 產生的重力。研究［5］表明，正常人在劇烈奔跑時，跟腱承受的力量峰值約為體重的 12。5 倍，而在跳躍或騎腳踏車時承受的力量可達體重的 6-8 倍。顯然，MJ 在完成 45 度前傾時，跟腱部位承受的力超過了一般劇烈運動。
接下來再討論一下不同身高、不同前傾角度對跟腱張力的影響。將比例係數
= 11。2 kg/m
、
= 0。0286 和
= 0。56（以男性為例）的數值代入模型中，可得身高為
的人前傾
角時跟腱張力為 根據上式，我們可以繪製出不同身高
的人在前傾相同角度 45
時跟腱張力
的函式影象（圖 13），以及相同身高
的人前傾不同角度
時跟腱張力
的函式影象（圖 14）。
圖 13： 身高不同的人前傾 45
時跟腱張力
圖 14： 相同身高的人前傾不同的角度時跟腱張力
圖 13 和 14 顯示，身高越低，前傾角度越小，則跟腱所承受的張力就越小，反之亦然。跟腱張力正比於身高的三次方和前傾角度的正弦值。如果認為跟腱的截面積正比於身高的平方，則跟腱肌肉單位截面上承受的拉力（拉伸應力）正比於身高。
結論
邁克爾·傑克遜 45 度前傾動作，猶如擺脫地心引力。除了特製舞鞋，完成該動作還需要強大的跟腱力量。跟腱肌肉對身體施加了一個反向力矩，與重力力矩平衡。本文根據力學平衡原理，建立了數學模型，計算出 MJ 在表演該動作時跟腱承受的張力相當於 MJ 自身體重的 13。9 倍，這是一個相當大的力，遠超一般劇烈運動時的跟腱張力。
本文還將模型推廣到不同身高的人前傾不同角度的情況。研究表明，個頭越瘦小，越容易完成 45 度前傾，前傾時跟腱張力正比於身高的三次方，跟腱肌肉單位截面上承受的拉力（拉伸應力）正比於身高。前傾角度越小，跟腱承受的張力就越小，前傾時跟腱張力正比於角度的正弦值。傑克遜能夠完成該動作，一方面得益於其是專業的舞者，經過專業的訓練，跟腱肌肉比普通人粗。另一方面也得益於其身高適中，體重偏輕。
邁克爾·傑克遜作為不可複製的偶像並非偶然。45 度前傾動作具有一定的危險性，建議普通人不要輕易嘗試該動作，一不小心可能會造成跟腱受傷或斷裂。
參考資料［1］
Manjul and Tripathi。 How did michael jackson challenge our understanding of spine biomechanics？ Journal of Neurosurgery。 Spine， 2018。
［2］
Micheal jackson age， death， wife， family， biography and more：https：//starsunfolded。com/michael-jackson
［3］
J。 R。 Baxter and S。 J。 Piazza。 Plantar flexor moment arm and muscle volume predict torque-generating capacity in young men。 Journal of Applied Physiology， 116（5）：538， 2014。
［4］
Stephanie Gambino。 Center of mass of a human， 2009：https：//hypertextbook。com/facts/2006/centerofmass。shtml
［5］
K。 W。 Barfod。 Achilles tendon rupture； assessment of nonoperative treatment。 Danish Medical Journal， 61（4）：B4837， 2014。
