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2021年遵義
中考數學壓軸題，題目中介紹瞭如何用幾何變換中的旋轉來解決幾何最值問題，非常值得學習。
【中考真題】
（2021•遵義）點
是半徑為
的
上一動點，點
是
外一定點，
．連線
，
．
（1）【閱讀感知】如圖①，當
是等邊三角形時，連線
，求
的最大值；
將下列解答過程補充完整．
解：將線段
繞點
順時針旋轉
到
，連線
，
．
由旋轉的性質知：
，
，即
是等邊三角形．
又
是等邊三角形
，
在
和△
中，
△
在△
中，
＜
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
即
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
取最大值，最大值是
（2）【類比探究】如圖②，當四邊形
是正方形時，連線
，求
的最小值；
（3）【理解運用】如圖③，當
是以
為腰，頂角為
的等腰三角形時，連線
，求
的最小值，並直接寫出此時
的周長．
【答案】解：（1）將線段
繞點
順時針旋轉
到
，連線
，
．
由旋轉的性質知：
，
，即
是等邊三角形，
，
又
是等邊三角形，
，
，
，
，
在
和△
中，
，
△
，
，
在△
中，
＜
，
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
，
即
，
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
取最大值，
的最大值為
． 故答案為：
△
，
．
中，作以
為邊的正方形
，連線
，
，
四邊形
是正方形，
，
，
，
四邊形
是正方形，
，
，
，
，
在
和△
中，
，
△
，
，
在
中，根據“三角形兩邊之差小於第三邊”，得
＜
，
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
，
即
，
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
取最小值，最小值是
．
取最小值的影象如下所示：
為腰，頂點為
點，頂角為
的等腰
，連線
，
，過點
作
於點
，
，
，
，
，
，
，
在
△
中，，
，
，
，
在
和△
中，
，
△
，
，
在
中，根據“三角形兩邊之差小於第三邊”，得
＜
，即
＜
，
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，即
，
當
，
，
三點共線，且點
在
的延長線上時，
取最小值，最小值是
，
當
取最小值時的圖象如如圖③
中，此時過點
作
於點
，且延長
於點
，使得
，
，
又
△
，
，
在
中，
，
，
，，
，
，
在
中，，
，
，
，
，
以及
，
在
中，，
，
的周長為．
