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2021年十堰
中考數學幾何壓軸題。題目以等邊三角形的動點為背景，涉及主從動點問題，也就是大家熟稱的“瓜豆模型”。
本題為2008年金華地區中考數學壓軸題改編，其實在2013年甘肅中考數學壓軸題中也出現過。具體大家可以看《中考數學壓軸題全解析》中垂直模型有關的章節，解法比較多樣。
【中考真題】
（2021•十堰）已知等邊三角形
，過
點作
的垂線
，點
為
上一動點（不與點
重合），連線
，把線段
繞點
逆時針方向旋轉
得到
，連
．
（1）如圖1，直接寫出線段
與
的數量關係；
（2）如圖2，當點
、
在
同側且
時，求證：直線
垂直平分線段
；
（3）如圖3，若等邊三角形
的邊長為4，點
、
分別位於直線
異側，且
的面積等於
，求線段
的長度．
【分析】
（1）根據全等進行證明即可，難度不大。
（2）根據垂直平分線的判定定理進行證明，只需連線PQ，根據條件，可以證明△PBC≌△PBD，那麼就可以得到PC＝PD，BC＝BQ，即可得到結論。
（3）易得△APQ為等邊三角形，已知它的面積，那麼就可以確定等邊三角形的邊長，也就是AP的長。根據P、B在AC的異側，需要進行分類討論。分類討論前需要確定點P與點Q的軌跡再進行分析。
可以發現，當點P在l上運動時，點Q的軌跡如上圖所示，進而進行分類討論即可。
【答案】
解：（1）在等邊
中，
，
，
由旋轉可得，
，
，
，
，即
，
，
．
（2）在等邊
中，
，
，
由旋轉可得，
，
，
，
，即
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
平分
，
且點
是
的中點，即直線
垂直平分線段
．
（3）①當點
在直線
上方時，如圖所示，延長
交
於點
，過點
作
於點
，
由題意可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設
，則
，
，
在
中，，
，即
，
解得
或
．即
的長為
或
．
②當點
在直線
下方時，如圖所示，設
交
於點
，過點
作
於點
，
由題意可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設
，則
，
，
在
中，，
，即
，
解得負值捨去）．
綜上可得，
的長為：
或
或
．
