生活中我們常常聽到“不要把雞蛋放在同一個籃子”“這個事情不穩定”“波動性很大”等等語句，前面我們聊過數學期望也就是平均值，現在我們聊聊同樣對我們的決策影響巨大，且非常有價值的事情，它就是隨機結果的波動程度，也叫作“方差”。
什麼叫方差
方差就是隨機結果圍繞數學期望的波動範圍。對於一個隨機事件，數學期望描述的是長期價值也就是平均值，無法反映波動性。方差就是專門描述這種波動性的數值，彌補了數學期望描述隨機事件的不足。方差計算方式是結果的值與數學期望之差的平方的均值，聽上去非常繞，我們舉例子算一下。
比如兩個同學的5次考試測驗成績如下：小A：50，100，100，60，50，平均值是72；小B：73， 70，75，72，70 平均值是72。平均成績相同。小A的成績的方差計算公式就是［（50-72）^2+（100-72）^2+（60-72）^2+（50-72）^2］/5=536。小B的成績方差計算過程是一樣的，結果就是3。6，可以明顯的感覺出來，小B的成績非常穩定，波動性就很小。這就是方差。
2. 方差的本質其實是對風險和誤差的度量
風險和誤差本質上指的就是波動性，方差的本質就是對風險和誤差的度量，方差越大，說明這件事波動性越大，可能的結果離期望值越遠。比如，如果我們做10次拋硬幣試驗，只出現4次正面朝上的情況，就有了誤差，誤差是1。如果9次正面朝上，那麼誤差就就是4了。
長期來看，股票的投資回報率還是很可觀的，也就是數學期望其實很高，但還是有很多人選擇將錢存銀行或者收益穩定的國債，而不願意選擇收益更高的股票，其實就是考慮到了兩者方差的不同。股票起伏不定，方差太大，風險太高；而國債或者貨幣基金很穩定，方差很小，風險也很小。
這也是為什麼我們常說“投資多元化”“不要把雞蛋放在同一個籃子”，如果把錢投入到一家公司、一支股票上，一旦它遭受衝擊，虧損就會比較大；而如果分散投資，這種投資組合的方差就很小，風險也就更低。
3. 如何對抗和利用方差
首先，我們可以透過增加本錢的方式對抗波動性。本錢越多，承受風險的能力越強。如果一個事項或者選擇只要第一局就輸完了，沒本錢繼續了，根本沒辦法等到長期，來收穫長期的“期望”。如果你的本錢是無限，可能某幾次會輸，但沒關係長期投資下去，你終將成為贏家。賭場和彩票就是靠這種方式保證莊家永遠是掙錢的。
對於生活中的其他問題，和增加本錢類似，只要增加資料選擇，就能做到對抗方差、對抗波動性。比如，預測一個學校的高考升學率，就不能只看某一個學生或者某一個班的成績，這樣風險太大，但是如果把全校10個班的學生成績都採集上來，甚至把全市、全省、全國的對比資料都採集上來，這樣就能做出更準確的預測。
越是小機率事件，你如果想確保它發生，需要試驗的次數比理想的次數越要多得多。比如說一件事發生的機率為1%，雖然進行100次試驗後它的數學期望值達到了1，但是這時它的標準差大約也是1，也就是說誤差大約是100%，因此試了100次下來，可能一次也沒有成功。
如果你想確保獲得一次成功，你大約要做260次左右的試驗，而不是100次。這裡面的數學細節我們就不算了，大家記住這個結論就好。也說明了凡事做好充足的準備，爭取一次性成功，這要遠比不斷嘗試小機率事件靠譜得多。
施一公認為中國大學生中難以產生拔尖的創新人才的原因是中國的大學生“均值很高，但方差很小”，也因為如此，施一公參與創辦了中國第一所研究型民辦大學“西湖大學”。透過人為設計主動擴大波動性，我們也能利用方差達到自己的目的。比如偶爾一次旅行、出去吃頓好的、給媳婦買個奢侈品包，都會讓生活更加豐富多彩，幸福感更高。
參考資料：
1。得到app《劉嘉·機率論22講》《吳軍·數學通識50講》《萬維鋼·精英日課》。
2。《吳軍數學通識講義》吳軍著，新星出版社2021年4月出版。
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