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導讀
這世界就沒有簡單的學問。
六角密堆積是平面上最有效堆積方式的證明乃是人類歷史上最天才的數學證明之一。
01
數學家圖
阿克塞爾·圖 （Axel Thue， 1863-1922） 是一位挪威數學家
（圖1）
，畢業於奧斯陸大學數學系，曾受數學名家索菲斯·李的指點，以丟番圖方程、數論和組合方面的研究而聞名 （比如證明了方程
y
3
- 2x
2
= 1
不可能有無窮多組整數解），被譽為思想與成就皆超前於時代的人。筆者以為，其1910年關於六角密堆積是平面上最有效堆積方式的證明乃是人類歷史上最天才的數學證明之一，也是促成筆者撰寫這本小冊子的原因。這個證明不僅簡潔、天才、驚豔，最重要的是該證明的哲學、技巧以及相關聯的思考具有深刻的啟發性意義。
圖1。 挪威數學家圖
02
圓的密堆積
在桌面上擺放一把相同的圓形硬幣，這會把我們引入平面上圓如何鋪排
（tessellation）
的有趣問題。容易看到，一個硬幣可以被六個硬幣緊密環繞。所謂緊密的意思是，相鄰三個硬幣兩兩相接，形成一個正三角形；外圍的六個硬幣相互間是有接觸的，沒留下空隙
（如圖2）
。把外圍六個圓之間的接觸點用直線段連起來，就得到一個圍住中心圓的正六邊形。如果我們只看這七個圓的圓心，它們的排列如圖3中的七粒蓮子所示（
記住，大自然遵從數學和物理的規則！從前研究生物的人懂數學、物理、哲學和藝術，那時候統稱博物學家）
，中間一個點，其餘六個點在以其為中心的正六邊形的六個頂點
（vertex）
上。圖2中的圓在平面上的排列方式稱為六角密堆積
（hexagonal close packing）
。容易計算，圓鋪排的面積佔比，用圓的面積除以相鄰四個圓中心所張成的、邊長為圓的直徑而夾角為60°/120°的菱形的面積，為
。這樣的排列方式，是最緻密的。那麼，如何證明呢？
圖2。 平面上圓的六角密堆積
圖3。 七粒蓮子的長法，外圍的六個處在圍繞中心的正六邊形的頂點上
03
六角密堆積的證明
阿克塞爾·圖在1910年提供了一個非常簡潔的但是
意義深遠的關於六角密堆積
的證明。
圖4。 （左） 平面上隨機分佈的小圓，（中） 近鄰三小圓及其相互間的垂直平分線，（右） 從垂直平分線的節點處向三小圓作切線，每個圓的兩條切線在節點處張開一個相等的頂角
01
第一步
作為出發點，考慮圖4左圖中在平面內隨機分佈的諸多小圓，設想你往桌子上撒一把大小相同的豆豆，你就能得到這樣的小圓在平面上的分佈。
02
第二步
作任何一個小圓同近鄰小圓之圓心連線的垂直平分線，會得到圖4左圖中的連線結構—每一個小圓都被一個凸多邊形包圍（一般為六邊形。你如果沒見過這樣的圖案，可以去觀察干涸的河底泥巴斷裂圖案，或者去觀察許多植物的葉脈。再強調一句，
大自然遵從數學和物理的規則
）。
03
第三步
觀察第2步得到的連線結構，會注意到從每個連線節點發出的線段都是三條。考察每三個相鄰小圓的連線問題，如果這三個小圓碰巧在一條直線上，則兩兩連線的垂直平分線是平行的。這樣的三小圓構型不對理解二維的空間鋪排問題有貢獻，放過不管。看一般的情形
（圖4中圖）
， 近鄰三小圓的三根兩兩之間連線的垂直平分線交於三小圓所張成之三角
形內部的
某個位置。
04
第四步
從垂直平分線的節點向三小圓作切線，共六條，容易證明每個圓的兩條切線在節點處所張的頂角相等
（圖4右圖）
，記為
θ
。但是，在平面內，3
θ
≤ 360°，也即
θ
的最大值為120°，這種情形對應的就是圖1中圓的排列方式，故六角密排是最緻密的排列方式。
QED。
04
細論圖的證明
這個證明的天才、驚豔之處值得多囉嗦幾句。
01
證明圖2中的規則圖案所對應的問題卻從圖4左圖中的一般性隨機圖案出發，這個從方法論的角度來看就是了不起的舉動。其所隱含的哲學意味也是有趣的——
一個問題在更復雜的語境中反而是簡單的。
可以舉一例說明。任意四個整數的平方乘以任意四個整數的平方，其積可以表示為四個整數的平方。如果只知道實數 （含整數） 和複數，這個問題的證明可能無從下手。但是， 如果懂四元數的數學，則這個問題的證明就是個練習題而已。
02
從圖4左圖中的完全無規的分佈出發，發現所有的節點都發出三條線，散亂無規的分佈突然變得有規律了。這樣，原來一個關於平面裡的全域性問題，變成了圍繞一個點的區域性問題。
這告訴我們變換對問題的看法有多麼重要。
要不數學物理整天研究變換和變換不變性呢！
03
作相鄰點連線的垂直平分線，想法有趣，結果意義深遠。那麼，人家是怎麼想到要這麼做的呢？筆者在給研究生講授表面物理的時候，突然想到，這就是個發麵的過程。設想圖4左圖中的每個小圓是一個發麵團，隨著烘烤的進行麵糰會向各方向擴張，則相鄰兩個麵糰最後達成的分界線就是兩面團之間連線的垂直平分線 （有興趣的讀者不妨去麵包店看看托盤中烤好的麵包邊界所構成的圖案，見圖5）。圖4左圖中那些連線在小圓周圍圍成的多邊形，稱為伏龍諾伊單胞
（Voronoi cell）
。伏龍諾伊 （Гео́ргий Феодо́сьевич Вороно́й，1868-1908） 是俄羅斯數學家。圖4中左圖中的那些凸多邊形，伏龍諾伊單胞，可以看作是對平面的劃分方案。這個劃分方案意義就大了，葉脈的分佈
（供水）
、城市交通以及學校醫院如何分佈，不妨都參照一下這個劃分方案。
其實，圖4中圖中的三個小圓可連成一個三角形，別處也一樣。這恰是對平面的三角化（triangulation） 劃分， 這樣做的合理性是建立在三角形的剛性上的。
晶體可以看作是一堆原子佔滿了空間，作相鄰原子連線的垂直平分面可以得到圍繞每個原子的一個凸多面體，這個凸多面體是伏龍諾伊單胞的三維對應，被稱為Wigner-Seitz 單胞。單胞結構和原來的點結構是對偶的
（dual）
。什麼意思呢？你對空間中分佈的物理量用函式 e
ikx
作傅立葉變換 （晶體的X-射線衍射），所得結果在k-空間中也會有結構，那就是作空間中原子連線的垂直平分面所得到的結構。
圖5。 原先分立的麵糰經烘烤長大後，兩面團邊界就是麵糰中心連線的垂直平分線，這些垂直平分線圍成的多邊形就決定了麵包的形狀。
注意，平面六角密堆積和蜂窩結構非常容易混淆。平面六角密堆積中，堆積的物件是球，堆積成的結構被稱為三角格子
（triangular lattice）
， 相鄰的三個球之球心構成等邊三角形。如果我們考察一個蜂窩
（圖6左圖）
，把六角形的空巢當作主角，有蜂蛹的話可以拿蜂蛹作主角，會發現它們和圖2的小球排列方式是一樣的，屬於三角格子。注意，這裡的關鍵點是，這裡每一個小蜂巢或者蜂蛹在空間上都是等價的。但是，如果我們考察蜂巢的壁，把蜂巢壁的節點當成主角的話，那就是常說的蜂窩結構。如果每個對應蜂窩結構的三條連線節點上放上一個
炭
［1］
原子的話，那就是炭單層結構
（圖6右圖）
。這裡的關鍵點是，相鄰的兩個炭原子是不等價的。對於蜂窩結構，也有蜂窩猜想，即蜂窩結構用料（蜂蠟）最省。翻譯成幾何語言，就是“將平面分割成多邊形，在多邊形面積一定的前提下，分成六角格子的分法（蜂窩形）所產生的多邊形周長最短。”將多邊形的面積設定為單位面積，則最短邊長為
。蜂窩猜想據說是古希臘人於約公元四世紀提出的，嚴格證明是美國數學家海爾斯 （Thomas Hales，1958-） 於1999年給出的。
圖6。 （左） 峰巢或者其中的蜂蛹是主角的堆積方式是平面六角密堆積，屬於三角格子；（右） 六角形區域的三節點作為主角的堆積方式是蜂窩結構，屬於六角格子。
平面內圓的密堆積問題在三維空間裡對應的是球的密堆積。設想把球在平面內按照圖2中的六角密堆積排成一層，記為A層。將同樣的一層，B層，放到A層上，且每個B層的球落在A層中相鄰三球圍成的空隙中。現在考慮第三層， C層，的放法。選擇1，C層的球落在B層的相鄰三球圍成的空隙中， 但是位於A層球的正上方。換句話說，C層就是另一個A層。重複上述步驟，得到 ABABABAB… 形式的空間排列，這種排列方式是空間的六角密堆積
（hexagonal close packing）
。
如 ZnS 一類的二元物質容易以兩個異種原子為單元採取這種堆垛方式。選擇2，C層的球落在B層的相鄰三球圍成的空隙，但也處於A層的相鄰三球圍成的空隙正上方。重複上述步驟，得到ABCABCABCABC…形式的空間排列，這種排列方式是空間的立方密堆積
（cubic close packing）
。一般單質金屬如金、銀、銅等的固體中，原子會採取立方密堆積的方式。固體物理上把這種結構稱為面心立方。水果店裡那些不是完美球形的水果也採取這種排列方式
（走，觀察去！）
。這種結構的固體，雖然外觀上易呈立方狀，原子排列也有四次轉動軸 （轉角90
°
），但是不要忘了它是由平面六角密堆積堆垛而來，那裡的三次轉動 （轉角120
°
） 才是它的最高對稱性。這兩種堆垛方式有時就含糊地統稱為空間的六角密堆積，它們的空間佔比都是
［2］
。
開普勒 （Johannes Kepler， 1571-1630） 猜測這樣的堆垛方式是密度最大或者說空間佔比最大的，這就是所謂的開普勒猜想 （Kepler’s conjecture，1611年提出）。三維空間中球的密堆積問題來源於英國人關切球形炮彈的堆垛問題，面對按照六角密堆積堆出的外形不同的一堆炮彈，你能否脫口說出有多少發？生物體中有很多這種小球體
（corpuscule）
堆積而成的結構，可憐一些 （故意裝作） 不懂數學的人兒，花費大量經費和時間用各種 （不會用的） 儀器研究這個問題，最後還是美國建築學家富勒 （Buckminster Fuller，1895-1983） 告訴他們這種小問題不用那麼努力認真研究，有現成的、特別簡單的數學公式，口算一下就行了。
證明開普勒猜想，用阿克塞爾·圖對付平面中圓密堆積的方法不湊效，因為包圍單個球的凸多面體不是單一的——最小的凸多面體是正十二面體。不過，似乎也只有有限種選擇，因此窮舉法未必不是證明的思路。1831年，高斯證明了如果球必須按照規則的晶格排列（有平移對稱性的排列），那開普勒猜想就是正確的。海爾斯的團隊於1998 年宣佈找到了證明，最後的證明於2017年發表在
Forum of Mathematics Pi
雜誌上。
順便說一句，有數學家認為阿克塞爾·圖的證明不完備。完備性是數學證明裡忒麻煩的東西，非筆者這樣的非數學家可以討論的。有關於平面圓密排定理的另一個證明， 略述如下。將平面作捷洛內 （Бори́с Никола́евич Делоне́，1890-1980）
［3］
三角劃分，即將平面上單位圓的圓心連線使得平面被分割成一個一個的三角形
（圖7）
，可以證明這樣的三角形，其內角必須在
之間，而面積佔比為三個內角作為圓心角的單位圓弧之和除以三角形的面積，而前者等於 π/2，而後者最大值為
因此這個比值≤
，等號在六角密排時成立。QED。
這個證明其實和阿克塞爾·圖的證明是有千絲萬縷的聯絡的。對捷洛內三角劃分的每一個三角形找出其外接圓的圓心，將圍繞三角劃分某個節點的相鄰外接圓圓心連線起來，就得到伏龍諾伊元胞。
圖7。 平面的捷洛內三角劃分
05
多餘的話
最後想說一句，這世界就沒有簡單的學問。一項學問的延伸是無止境的。你知道的越多，你就越為人類的才智所驚歎，你就會越謙虛。其實，也不是誰想謙虛，只是別無選擇。
註釋
［1］ 碳字是個除了添亂沒有任何意思的字，本文不採用。
［2］ 考慮到球殼體積佔比的趨勢，我猜測，無窮維空間中球之密排（closestpacking） 的體積佔比為零。
［3］ 英文轉寫為Delaunay，一般漢譯為德洛內。
本文取自曹則賢著《驚豔一擊——數理史上的絕妙證明》一書。
