中考數學二次函式的壓軸題解題

1 瞭解中考中常見的二次函式問題型別

根據歷年各地的二次函式壓軸題，我們可以將二次函式的考法大致歸納為以下幾種：①動點（或不確定點）問題：藉助於動點或不確定點所在函式影象的解析式，用一個字母把該點座標表示出來。②動三角形問題：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的。或至少有一個頂點是運動，求最大值或最小值。③動線段問題：線段長度是運動，變化，不確定的。④求一個已知點關於一條已知直線的對稱點的座標問題。⑤“兩個三角形相似”的問題。⑥三角形證明問題。

當然，除了以上提到問題，壓軸題還會出現一些綜合性較強的二次函式題目。當學生了解了壓軸題的基本題型後，教師就可以有針對性地選擇合適的習題進行訓練和講解。

2 以例項講解知識點

為了更好地呈現二次函式壓軸題的解題思路以及解題方法，我們以下列題目為例。

已知：如圖，在平面直角座標系xOy 中，直線與x 軸、y 軸的交點分別為A、B 將∠OBA 對摺，使點O 的對應點H 落在直線AB 上，摺痕交x 軸於點C。

（1）請寫出點C 的座標，並寫出過A、B、C 三點的拋物線的解析式，並寫出過程；

（2）如果D 為拋物線的頂點，在直線BC 上是否存在點P，使得圖形ODAP可以寫成平行四邊形？如果存在，求出點P 的座標；如果不存在，請說明理由；

（3）直線BC與設拋物線的對稱軸相交於點T，Q是線段BT上的任意一點，直接寫出|QA-QO|的取值範圍。

以下是本題的具體解析。

（1）點A 的座標是y 座標是0，得x 座標為8，以點A 的座標為（8，0）；點B的座標是x座標為0，解得y座標為6，所以點B的座標為（0，6）；由題意得：∠ABO 的角平分線是BC，所以OC=CH，BH=OB=6

∵AB=10，∴AH=4，由題目

設OC=x，則AC=8-x

由勾股定理可得：x=3

∴點C 的座標為（3，0）

將此三點代入二次函式一般式，列的方程組即可求得；

（2）求得直線BC 的解析式，根據平行四邊形的性質，對角相等，對邊平行且相等，藉助於三角函式即可求得；

（3）如圖，由對稱性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|。

當點Q 與點B 重合時，Q、H、A 三點共線，|QA-QO|取得最大值4（即為AH 的長）；

設線段OA的垂直平分線與直線BC的交點為K，當點Q與點K重合時，|QA-QO|取得最小值0。

題目點評：此題的構架基本當作二次函式壓軸題的普遍結構，所以我們可以在解析本題的過程中將解答方法推廣到更多的相似題型。往往壓軸題第一問難度不是很大，大多是簡單證明題或是求表示式，在本題（1）中就只要求學生簡單地進行解析式的求解，關鍵點就是要學生掌握設未知數的技巧，最後求出C點座標，得以求出解析式。而壓軸題的第二問和第三問才是真正拉開學生間差距題目，要求學生具有細緻考察數學知識點的能力。

本題的（2）就巧妙地將平行四邊形與二次函式相結合，考察二次函式性質的同時還兼顧了平行四邊形對角相等、對標平行的性質，還在其中穿插了三角函式知識點。在題目（3）中，則是考察學生化靜為動的思維，涉及了動點和動線段問題，其中還加入了幾何圖形對稱的知識點，解題的關鍵是學生認真識圖，注意數形結合思想的應用。由此可見，二次函式壓軸題能夠輻射到很廣的數學知識，學生任何一個知識點的遺漏都會很容易丟掉壓軸題的分。除了考察的綜合性和複雜性，在這道題中也可以看出壓軸題的連貫性。

此題考查了二次函式與一次函式以及平行四邊形的綜合知識，第一問要求學生求出拋物線的解析式，這一問雖然看似簡單，但是十分關鍵的一步，因為解析式如果求解錯誤，第二問和第三問就等於白做了，還會導致學生花費大把的時間不停的計算，不停的修改，最後仍然拿不到分。第二問是動點與平行四邊形相互結合的問題，這就體現了壓軸題的綜合性。