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2021年河北
中考數學壓軸題。本題比較巧妙，利用四邊形的不穩定性，根據四邊形的邊角關係，得到固定的三角形，進而求得邊與角。是一道值得探究的問題。
【中考真題】
（2021•黑龍江）在等腰
中，
，
是直角三角形，
，
，連線
、
，點
是
的中點，連線
．
（1）當
，點
在邊
上時，如圖①所示，求證：
；
（2）當
，把
繞點
逆時針旋轉，頂點
落在邊
上時，如圖②所示，當
，點
在邊
上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段
和
又有怎樣的數量關係？請直接寫出你的猜想，不需證明．
【分析】
（1）本題比較簡單，只需根據斜邊中線的性質即可得到。
如圖，易得BD＝CD，因為EF＝1/2BD，所以結論得證。
（2）如圖②所示時，BD與CD不相等，那麼無法直接使用該方法進行證明。但是題目中的關鍵條件，點F為BD的中點沒有改變，因此需要從中點入手。
如上圖，取CD的中點T，可以得到TF為中位線，平行且等於BC的一半。而AT為CD的一半。那麼可以考慮證明AT與EF相等。本題只需證明△ATF≌△EFT即可。
或者，也可以取BC的中點，如下圖所示：
連線AO、OE和OF，那麼可以得到△ACD∽△AOE，得到△OEF為等腰直角三角形（其中OE與CD的夾角為45°），OE＝OF＝1/2CD。
如圖③，可以參考圖②的方法，取AD的中點O，連線OF、OE。易得△OEF與△ADC相似，那麼結論就出來了。
當然，還可以像下面這樣構造：
如圖，取BC的中點O，連線AO、OE、OF，得到△ACD≌△AOE，進而得到CD＝OE＝2OF（其中OE與CD的夾角為60°），再得到結論即可。
【答案】
（1）證明：如圖①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分線段
，
，
．
（2）解：如圖②中，結論：
．
理由：取
的中點
，連線
，
，
，
交
於點
．
，
，
，
，
垂直平分線段
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如圖③中，結論：
．
理由：取
的中點
，連線
，
．
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
