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2021年畢節
中考數學幾何壓軸題，題目以等腰直角三角形手拉手為背景，涉及四點共圓的問題，值得研究。
【中考真題】
（2021•畢節市）如圖1，在
中，
，
，
為
內一點，將線段
繞點
逆時針旋轉
得到
，連線
，
的延長線與
交於點
．
（1）求證：
，
；
（2）如圖2，連線
，
，已知
，判斷
與
的位置關係，並說明理由．
【分析】
（1）證明線段的數量關係與位置關係，用全等即可，根據SAS易得結論。
（2）根據圖形易得它們平行，那麼只需證明一組內錯角相等即可，即證明∠AFD＝∠CDF。易得∠CDF＝45°。那麼只需得到∠AFD為45度即可。由（1）的結論可以得到∠BFE＝90°，那麼只需證明AF平分∠BFE即可。可以利用角平分線的判定，過點A往兩邊作垂線，根據全等證明結論。
當然，可以發現四邊形ADFE的對角互補，所以四點共圓，那麼可以得到∠AFD＝∠AED＝45°。（擔心不能用的同學，可以用反證法做一個簡單的證明即可。）
除了用對角互補來得到四點共圓之外，還可以用直角三角形的性質來證明。
因為∠DAE＝∠DFE＝90°，所以以DE的中點O為圓心，可以得到OA=OD=OF=OE，那麼以OA為半徑，則四點共圓。結論易得。
【答案】
證明（1）如圖1，
線段
繞點
逆時針旋轉
得到
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
又
，
，
；
（2）
，理由如下：
如圖2，作
於
，
於
，
由（1）知
，
，
，
，
又
，
，
平分
，
又
，
，
，
，
，
．
