眾所周知，年輕人是不講武德的，小明當年也不例外。為了能夠最大程度喝到飲料，利用空瓶能夠換飲料的優惠活動，和飲料店老闆鬥智鬥勇。
借了空瓶再還回去？
在我們還是小學生的時候，第一次聽說還有這種操作，也是一臉懵逼。那我們接下來就來看看具體是什麼情況。
序幕
飲料店開業，為了吸引更多人來買飲料，老闆制定瞭如下優惠活動。
飲料一元一瓶，兩個空瓶可以換一瓶
好巧不巧，小明正好來到這家店買飲料，他身上只有一元錢。按照常理來看，他能夠買一瓶飲料，並且喝完之後剩下一個空瓶，一個空瓶是無法享受優惠活動的，把沒用的空瓶扔了，或者積累到下一次再兌換，這個事情就這樣結束了。可眾所周知，人總是貪婪的，小明更不例外，這也是萬惡的開端。
小明是如下思考的。一瓶飲料，可以看成一個空瓶和瓶內飲料的組合，根據物品本身的價值來看，它們之間的價值關係是這樣的：
一瓶飲料（1 元）= 一個空瓶（0。5 元）+ 瓶內飲料（0。5 元）
其實這很好理解，既然兩個空瓶能換一瓶飲料，那自然兩個空瓶的價值是 1 元，從而一個空瓶的價值是 0。5 元，瓶內飲料的價值就是 0。5 元。
從理論上看，小明帶了 1 元，他單單隻喝飲料不要空瓶的話，是可以喝兩瓶飲料的。雖然從價值上看一個空瓶的價值確實等同於瓶內飲料的價值，但這不表示你可以用一個空瓶去白喝一瓶飲料。但是上有政策，下有對策，小明盤算著走進飲料店，打算試探一下老闆。
發展
小明：“老闆你好，請問兩個空瓶能換一瓶飲料對嗎？”
老闆：“沒錯。”
小明：“那你看，兩個空瓶 = 一瓶飲料 = 一個空瓶 + 瓶中裝的飲料，也就是一個空瓶 = 瓶中裝的飲料，沒錯吧？”
老闆：“按照等式的性質來看，是這樣沒錯。”
小明：“那我有一元錢，可以買一瓶飲料，喝完之後剩下一個空瓶，我再用空瓶換一瓶不帶瓶的飲料，相當於我用一元錢，喝你兩瓶飲料，然後還你兩個瓶子行不行？”
老闆：“不行哦，規定是你要事先有兩個瓶子才能換飲料，這個先後順序不能倒置。”
小明：“那老闆，我能不能向你借一個空瓶，馬上還給你？”
老闆：“我這兒倒是有不少空瓶，不過你要做什麼？”
小明：“我先買一瓶飲料，喝完之後剩一個空瓶，加上你借我的一個空瓶，兩個空瓶我再換一瓶飲料對吧？然後喝完之後，我得到一個空瓶，然後還給你，行不行？”
老闆：“這倒是符合規定，有借有還也沒什麼問題，行，那就這麼辦吧。”
小明：“謝謝老闆！”
於是小明用一塊錢，喝了兩瓶飲料
。但老闆仔細一琢磨，發現實際上小明依舊只是用一元錢在白喝飲料而已，結果並沒有改變。借瓶子這種操作的存在，把優惠活動的條件直接改成了飲料返還空瓶並打 5 折。
小明的探究
小明回家後，針對有借有還的操作，研究了以下模型。
飲料一元一瓶，m 個空瓶可以換一瓶 （ m > 1 ），問用 n 元錢至多能喝多少瓶？
小明對不同的 m， n 列了一個表格，如下
m
2
3
4
2
3
4
n
10
10
10
20
20
20
瓶
20
15
13
40
30
26
小明對資料進行了分析，當然不止以上資料，小明總結出最多能夠喝的瓶數為
，其中
表示不超過實數
的最大整數，例如
，
，
。小明總結出了下面這個命題：
命題：飲料一元一瓶，m 個空瓶可以換一瓶，那麼用 n 元錢至多能喝的瓶數為
證明：設至多能喝的瓶數為
瓶，先確定
的上界。m 個空瓶可以換一瓶，這表示空瓶的價值是
元，那麼瓶中飲料的價值則為
，最理想的情況是用
元全部換成不含空瓶的飲料，這種情況下能喝的飲料瓶數為
，實際情況只能允許喝整數瓶，因此有
再說明這個上界是可以取到的。為此，我們構造一種有借有還的操作：首先用
元買
瓶飲料並喝光，然後借來
個空瓶，這樣我們手頭共有
個空瓶，接下來我們只需要證明
個空瓶可以換
瓶飲料即可，這樣就能和借來的空瓶數目對上了。用
個空瓶可以換的飲料的數目為
其中，
，
的取值範圍是
。一方面，
另一方面，
因此
其中涉及一系列有關高斯函式的相關性質，不過沒關係，我們知道了一件事，即
也就是說，
個空瓶是可以換
瓶飲料的，還回去的空瓶數量正好可以彌補借來的數量，因此這種操作方案是可行的，這意味著：
綜合
的上界來看，有
證畢！
不僅如此，小明還將這個結論進行了推廣，如下：
推論：飲料一元一瓶，u 個瓶蓋可以換一瓶，v 個不帶蓋的空瓶可以換一瓶，那麼用 n 元錢至多能喝的瓶數為
小明注意到這個推論的證明和之前的命題的證明方法完全一樣，所以小明就沒再去證它了。誰知道，正是由於小明的這些騷操作，後人編出了五花八門的考題，有小學奧數題，有公務員考試題等。
例題
【小學奧數】商店為回收汽水瓶，規定3個空瓶換一瓶汽水，一個人買10瓶汽水喝完之後又拿空瓶去換汽水問他一共可以喝多少瓶汽水？
解：根據上述結論，共可以喝
瓶汽水。
【公務員考試】5個汽水空瓶可以換一瓶汽水，某公司聚餐共喝了161瓶汽水，其中有買的，有換的，那麼他們至少買了多少瓶汽水？
解：設他們買了
瓶汽水，並最大程度進行兌換。那麼
因此，他們至少買了 129 瓶。
【2021 浙江春晚郭冬臨喝汽水】汽水兩塊錢一瓶，兩個瓶蓋換一瓶，四個空瓶換一瓶，十塊錢最多能喝多少瓶？
解：根據推論，最多能喝
瓶汽水。
郭冬臨在春晚節目上連喝了 12 瓶汽水，觀眾連連叫好，如果真讓他喝 20 瓶估計也夠嗆了。
高潮
小明發現，
不管他如何耍小聰明，他能喝到的瓶數只能是整數瓶
，例如，他似乎沒有辦法直接從飲料店喝到
瓶飲料。於是，經過深思熟慮，小明拿著 5 毛錢又來到飲料店，只不過這次他帶上了小剛。
按道理來說，5 毛錢是買不到任何飲料的，因為飲料是 1 元一瓶。只不過，小剛剛好也帶了 5 毛錢，並且小剛也想喝飲料。於是小明和小剛兩人湊成了 1 元錢，買了一瓶飲料，小明喝完之後，向老闆借了一個空瓶，然後用兩個空瓶換了一瓶飲料，小剛也喝了一瓶，最後他們把空瓶還給老闆。
從結果上來看，小明花了 0。5 元，喝了一瓶飲料，這和飲料 1 元一瓶的事實似乎有些矛盾，但事實上瓶中的飲料僅僅只值 0。5 元，也就是說小明只不過借用了一個小剛，最大限度地發掘了飲料的價值。
這種操作一定是合理的，因為既然能找到能借你空瓶的人，那就一定能找到和你一樣想要喝飲料的人。
事實上，
小明並不需要保證自己一定要喝整數瓶，他只要保證能夠找到一個人和他能湊成適當的整數即可。
這樣一來，
小明能夠喝到的瓶數其實可以是全體正實數！
有如下命題：
命題：飲料一元一瓶，x 個空瓶可以換一瓶，那麼用 y 元錢至多能喝的瓶數為
證明：
若
是整數，且
，那麼先買
瓶飲料，喝完之後借來
個空瓶，一共
個空瓶，可以兌換
瓶飲料，喝完之後將
個空瓶還回去。一共喝了
瓶飲料。
對於
或
不是整數的情況，找一個擁有
元的人，兩個人當成一個整體，共可以買
瓶飲料。其中
表示不小於實數
的最小整數，例如
，
。兩個人先解決掉
瓶飲料，至於按什麼樣的比例分配最後再討論。借來
個空瓶，一共是
個空瓶，可以兌換
瓶飲料，兩人解決掉之後將
個空瓶還回去。此時人一共可以喝到
瓶飲料，按照兩人消費的比例來分配的話，攜帶有
元的人可以分配到的飲料瓶數為
證畢！
按照這個思路，
即便小明能夠拿出元來買飲料，他只需要找一個擁有元的人，跟他一起買並按消費比例分配，他就能喝到瓶飲料
。
結局
小明回到家中，正在思索著，如何將瓶數推廣到複數域。而此時，飲料店已經倒閉了，原因不是掙不到錢，而是老闆已經無法忍受小明的各種奇怪操作，決定離開這個城市。又或者，
這樣的飲料店和小明一開始就不應該存在
。
