作者：大神團·馮偉
作者介紹：馮偉，新東方超尖生計劃授課老師，清華碩士。全國初中數學、物理、化學三項競賽一等獎，中國西部數學奧林匹克銀牌，北京市大學生數學競賽一等獎，全國大學生物理競賽一等獎，清華大學優秀碩士畢業生。
同學們，你知道什麼是多面體的展開圖嘛？
將一個三維多面體沿邊線裁開，並將多面體表面在平面上攤平，我們就得到了該多面體的展開圖（unfolding）。
如果展開圖中的各個面之間互相沒有交疊，則稱之為簡單展開圖（net）。
1525年，德國畫家丟勒（Albrecht Durer）研究了一些正多面體和半正多面體的展開圖的構建 。
可以看出，所有正多面體都具有簡單展開圖。
你能構建出一個具有非簡單展開圖的多面體嗎？
下面這種多面體可能是你最先想到的：
不過，它依然具有簡單展開圖——
那能否構建出不存在簡單展開圖的多面體呢？
答案是肯定的。
比如下面這種，無論以何種方式裁剪展開，總會有兩個面交疊。玄機就在於無論怎麼展開總會有兩個紅色面相鄰，而這相鄰面形成的空格僅夠放兩個綠色的面！
如果我們仔細觀察，會發現，上面兩種具有非簡單展開圖的多面體都至少有一個面是非凸多邊型。
那是不是限制多面體的每個面都是凸多邊形，就能保證任意裁剪展開都是簡單展開圖呢？
或者退一步，至少保證有一種簡單展開圖呢？
很遺憾，數學家找到了這樣一個多面體，它的每個面都是凸多邊形，然而卻不具有簡單展開圖，就是下面這樣的 。
聰明的你一定發現了，這些具有非簡單展開圖的多面體都比較怪異，準確的說它們都不是凸多面體。
所謂凸多面體是指這樣一類多面體——
將其任意一個面擴充套件成平面，其他所有面都在該平面的同一側。
如果將黃色面擴充套件開來，就會將這個多面體分割在這個面的兩側，所以他不是一個凸多面體。
比如之前我們提到的下面這個多面體。
那麼，是不是凸多面體的任意展開圖都是簡單展開圖呢？
數學家們又發現了這樣一些反例 。
最後的最後，跟大家介紹一個猜想，它是由舍普哈德（Shephard）在1975提出的：對於凸多面體，一定具有某種裁剪方法使其展開圖為簡單展開圖 。
這一次，數學家們沒能再舉出反例，但也沒能給出證明。
聰明的你，能找出反例嘛？
參考文獻：
1、Schlickenrieder W 。 Nets of Polyhedra［J］。 Thesis Berlin Technische Universitat Berlin， 1997。
2、Marshall Bern and Erik D。 Demaine and David Eppstein and Eric Kuo and Andrea Mantler and Jack Snoeyink。 Ununfoldable polyhedra with convex faces［J］。 Computational Geometry， 2003。
3、Buekenhout F ， Parker M 。 The number of nets of the regular convex polytopes in dimension≤4［J］。 Discrete Mathematics， 1998， 186（1-3）：69-94。
4、Sabine Bouzette， Francis Buekenhout， Edmond DonyAlain Gottcheiner。 A Theory of Nets for Polyhedra and Polytopes Related to Incidence Geometries［J］。 Designs，Codes&Cryptography， 1997。
5、Shephard G C 。 Convex polytopes with convex nets［J］。 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society， 1975， 78（3）：389-403。
作者介紹：馮偉，新東方超尖生計劃授課老師，清華碩士。全國初中數學、物理、化學三項競賽一等獎，中國西部數學奧林匹克銀牌，北京市大學生數學競賽一等獎，全國大學生物理競賽一等獎，清華大學優秀碩士畢業生。新東方智慧學堂（zhihuixuetang_xdf），與精英為伍，成就未來精英。
