我們在大學數學分課程裡學到了黎曼積分，在實分析課程裡則學習了勒貝格積分。引入勒貝格積分是因為黎曼積分的不足，無法處理一些更復雜的空間和函式。其實還有一類積分也是為了克服黎曼積分的不足而引入的。至今仍然有人號召在大學數學分析裡取代黎曼積分。這個積分就叫做刻度積分（Gauge Integral）。對數學分析中的 ε–δ 技巧不熟悉的讀者可以當作一種練習的機會。
1。 刻度積分的定義
刻度積分的正式名稱為 Henstock–Kurzweil 積分，也稱為 Luzin 積分、Perron 積分，有時為了和廣義 Denjoy 積分區別而稱為（狹義）Denjoy 積分。刻度積分最早是由二十世紀初法國數學家阿爾諾·當茹瓦（Arnaud Denjoy，1884－1974）引進的。他在研究形似
的函式時，將黎曼不可積的點分為若干種情形，給出了一個過於繁瑣的定義。蘇聯數學家尼古拉·盧津（Nikolai Luzin，1883－1950）使用類似絕對連續的方式給出了另一種等價定義；德國數學家奧斯卡·佩隆（Oskar Perron，1880－1975）也給出了一種等價的定義。1957 年，捷克數學家雅羅斯拉夫·庫茲韋爾（Jaroslav Kurzweil，1926－）給出了一種與黎曼積分的定義比較相似的比較優雅的定義。庫茲韋爾稱之為“刻度積分”（Gauge Integral）。而後英國數學家拉爾夫·亨斯托克（Ralph Henstock，1923－2007）則發展並完善了這種積分理論。基於這兩位數學家的貢獻，現今一般將這種積分稱為 Henstock-Kurzweil 積分。
任給一個區間 上的分割（所謂的刻度）：
，
和一個正函式 ，如果對一切的 ，都成立
那麼就稱這個分割是一個 -精細分割。
我們說數值 是函式 在閉區間上的 Henstock-Kurzweil 積分，當且僅當對於任意的 ，都存在刻度函式 ，使得對於任意的 -精細分割 ， ， ， 及 ，都有
比較黎曼積分和 Henstock-Kurzweil 積分的定義，我們看到，黎曼積分中，只將分割的小區間的最大長度作為精細度的標準。Henstock-Kurzweil 積分的定義中引入“刻度”函式，並將取樣值和刻度函式聯絡起來。如果將刻度函式 設定為常值函式，那麼 Henstock-Kurzweil 積分就退化為黎曼積分。
2。 一個簡單的例子
讓我們來看一個簡單的例子。就用上面提到的被積函式 ，我們將證明 。這個函式在 時必須特別定義。我們定義 。任給一個 ，讓我們定義一個在 上的 ：
對於一個給定的 -精細分割，我們來證明
事實上，因為
，我們有 ，進而 。於是
讓我們暫時假定 。我們得到
所以，。 同理，除了 外，。 於是有 ，因為 位於 和 之間。所以
當 時，
現在我們來看 。我們有
由此我們得到 。
3。 刻度積分的性質
與黎曼積分相同，刻度積分具有很好的性質。
性質 1
。 假定 是一個在 上的刻度可積函式且 。那麼，它也是在 上和 上的刻度可積函式，並且成立著
性質 2
。 假定 和 都是在 上的刻度可積函式且 是兩個實數。那麼，
性質 3
。 如果 是黎曼可積的或勒貝格可積的，那麼它也是刻度可積的。
性質 4
。 在下式中，如果左邊或右邊存在，那麼有
此性質對下限也成立。
刻度積分也可以定義到 上去。
4。 結束語
Henstock-Kurzweil 積分是黎曼積分的推廣。甚至 上所有的勒貝格可積函式也都是 Henstock-Kurzweil 可積函式。但是大多數微積分課本和實分析課本都選擇了迴避 Henstock-Kurzweil 積分。一方面從上面的簡單例子我們看到， 的選取技巧性比較強，這對於在學習黎曼積分中已經感到難度的學生來說無疑更是過於挑戰。更重要的是，Henstock-Kurzweil 積分沒有像勒貝格積分那樣引入測度的概念，所以不能推廣到一般測度空間，而在數學研究中，空間的選取比可積函式的選取更為重要。
參考文獻
Eric Schechter， An Introduction to The Gauge Integral， https：//math。vanderbilt。edu/schectex/ccc/gauge。
https：//en。wikipedia。org/wiki/Henstock%E2%80%93Kurzweil_integra
