文/CxEric
昨天在雪球發了一個機率題，題目如下：
假定存在某種疾病，每1000人中就有1人患上該疾病；該疾病可以被檢測出來，檢測準確率為99%。如果一個人已被測出是陽性。問：他真的得了該疾病的機率是多少？
題目連結：網頁連結
很多朋友給出的答案是99%。
但正確答案是：約9%。
一、解題過程
這個題目有多種理解方式，我提供兩種計算思路，不一定是最佳思路。
第一種，是正兒八經地畫機率樹。
這個圖是我隨手畫的，非常簡陋，大家湊合看就好。
如圖所示，顯示陽性有兩種情況：
1、有病——陽性，即【真陽性】
其機率為：0。001x99%=0。099%
2、沒病-陽性，即【假陽性】
其機率為：0。999X1%=0。999%
題目給定條件是【已知陽性】，求在此條件下：【真陽性】的機率。
計算過程是：
0。099%÷（0。099%+0。999%）=9。016%
第二種，是一種簡便演算法。
假定有1000人，其中有1生病，其餘999人為健康。
因此：
測出真陽性的人：1人
測出假陽性的人：999X1%=9。99
因此，當已知陽性，求此條件下真陽性的機率是：1/（1+9。99）
如果四捨五入，將9。99視為10，就會算出1/11（約9。091%）
如果不四捨五入，就會算出來：約9。099%
上述兩種演算法得出的結果都是約為9%，與直覺反應出來的 99%相去甚遠。
這裡的關鍵是，能否理解這是一個條件機率，隨著【已知陽性】這個條件的出現，機率分佈已經出現巨大改變，不能再按照直覺而去推斷。
二、這個題目的啟發
我昨天發這個貼的時候，其實關注點不是在題目本身，而是想以此說明，人腦其實天生不擅長理解隨機性、機率這些東西，更別提以機率的方式來處理【預測】問題。
這個題目只是一個簡單的條件機率模型，其難度最多是高中數學水平，但第一次就給出正確答案的人的很少。
昨晚一個有趣的現象是：
一個數學系畢業的朋友，給出的第一個答案是：99%；
一個統計學畢業的朋友，給出的第一個答案是：99%。
——太有趣了，數學很好的人也會被坑。
另一個有趣的現象是：一旦我告訴他們答案不對，很多人第二或第三次就能給出正確答案。
這個例子充分說明了卡尼曼在《思考快與慢》裡說的，人腦思考問題有兩個系統：
系統1：它的執行是無意識且快速的，完全處於自主控制狀態，無法關閉。
系統2：它需要將注意力轉移到需要費腦力的活動上來，它的執行通常與行為、選擇和專注等主觀體驗想關聯。
人類只有遇到覺得困難的問題、系統1碰壁的時候，才會調動系統2。
所以，昨晚沒有答對的朋友大部分是低估了題目的難度，試圖直接用系統1來解決問題，但在碰壁後，才認真起來，啟用系統2，認真計算了一次。
我完全相信，如果他們不是在手機上看題目，而是拿著紙筆坐在考場，這個題目對他們來說就是溼溼碎而已。
三、機率題目與投資
最後，問題來了。
如果面對這麼簡單的機率模型，人腦都容易下意識給出一個錯的離譜的答案（99% VS 9%），那在現實生活中、在股票投資過程中，人腦對機率的估計，又有多少成把握呢？
我相信，投資者總是過於高估自己的預測能力，其根源是人腦無法很好地理解隨機性、機率思維。
一個常見現象是，投資者容易認為：在某時某刻，某股的下跌機率只有30%，但是上漲機率有70%。——這種機率估算有什麼依據嗎？有什麼邏輯和計算嗎？沒有，就是拍腦袋而已。
另一個常見現象是，投資者和財經媒體，非常熱衷於統計歷史上“XX事件發生後次日的大盤漲跌的資料”，以此計算出一個【機率】，用來預測第二天大盤的漲跌機率。
比如，歷史上某事發生了10次，其中有7次第二天大盤是跌的，於是媒體就會宣稱，由於今天發生了該事件，因此明天大盤有70%的機率是跌的。
這是我見過最扯的機率計算，連高中生都不會接受。我建議讀者無視這類“機率”分析。
此外，在玩這個遊戲過程中有兩點啟發：
1、如果你低估問題的難度，你會更依賴系統1，這增加了你掉坑的機率；
2、不要太相信自己的機率估計，不要太相信自己對未來的預測（哪怕你已經覺得自己深思熟慮）
四、題目來自塔勒布
這個題目是我昨天在看Nick Sleep 的資料時看到的，但他又是從塔勒布那看到的。
塔勒布在《隨機漫步的傻瓜》中，給出了一道一模一樣的題目。
“我在行為研究的文獻中至少找到偏差十分嚴重的40個例子。以下是個很有名的測驗，也是叫醫學界尷尬不已的例項。接下來的問題是給醫生做的，引用自本內特寫得非常好的一本書，叫做《你賭對了嗎？》。
檢驗某種疾病時有5%的機率產生誤報。全部人口有1‰的機率罹患這種疾病。不管是否懷疑罹患這種疾病，隨機檢測一群人之後，發現有個病患的檢測結果呈現陽性，那麼這位病患染上這種疾病的機率有多少？”
塔勒布給出的答案如下：
“大部分醫生只考慮檢測的準確率為95%，而回答95%。正確的答案是病患生病且檢測發現有病的條件機率，其結果接近2%。結果有不到1/5的專業人士答對。
我來簡化這個答案。假設沒有漏報存在。1000個受檢的病患中，預料將有一位罹患這種疾病。999位健康的病患中，檢測的結果將有約50位染病，因為準確率是95%。正確的答案應該是，隨機選取的某人，檢測呈現陽性且確實染病的機率如下：
答案為1/51。
不妨想想，這一輩子你曾有多少次被告知染上某種疾病，需要接受某種藥物治療且忍受可怕的副作用，而實際上你真的罹患那種疾病的機率只有2%！”
五、再來一個題目
這個可能有點難。
在一個電視節目上，挑戰者來到最後一關，他要從三扇門裡選一扇門。其中一扇門背後是獎品，一輛汽車的鑰匙；其餘兩扇門後面是一隻羊。
現在，挑戰者選了其中一扇門，但還沒開啟。
此時，主持人從沒被選中的兩扇門裡，打開了一道門開給挑戰者看：吶，這是一隻羊。
然後，主持賦予挑戰者一個選擇權：你要不要換一道門？
問：他該不該換？
這個題目很有名，也非常有趣，答案也是反直覺的。
我遲些會在評論裡放相關的討論文章。
希望大家玩的開心
作者：C4Cire連結：https：//xueqiu。com/4373567778/193066099來源：雪球著作權歸作者所有。商業轉載請聯絡作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。風險提示：本文所提到的觀點僅代表個人的意見，所涉及標的不作推薦，據此買賣，風險自負。
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