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2021年廣州市
中考數學壓軸題，題目雙動點產生的運動軌跡問題，比較綜合、設計巧妙，值得研究．
【中考真題】
（2021•廣州）如圖，在菱形
中，
，
，點
為邊
上的一個動點，且
，
與
交於點
；
當
為
中點時，求證：四邊形
為平行四邊形；
若
，求
的長；
當點
從
出發運動到
時，求點
運動的軌跡長．
【分析】
（1）由點E為AB的中點，可以得到四邊形DFEC的一組對邊平行且相等，因此結論得證．
（2）幾何求值問題，可以考慮構造直角三角形用勾股定理解決．
（3）先確定軌跡，再求路徑長．
①思路一：延長AG交BC於一點M，易得點M為定點，因此點G線上段AM上運動；
②思路二：證明∠BAG為定值，如求其銳角三角函式值（如tan）可以得到為定值，則點G線上段上運動；
③思路三：建立平面直角座標系，得到點G的座標滿足直線解析式，那麼點G線上段上運動．
④思路四：如下圖，構造平行線．在BA上取一點M使得AM=1/2AB，連線DM，易得DG/GE=DC/EF=MA/AE，因此可以得到△AGE∽△MDE，那麼就可以得到AG始終平行於DM，則點G線上段上運動．
【答案】
解：
∵
為
中點，∴
，
∵菱形
，∴
，
，
∴
，
∴四邊形
為平行四邊形．
如圖，過點
作
與
，
∵菱形
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
設
，則
，
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
，
解得
（捨去），
．
∴
．
如圖，連線
並延長交
於點
，連線
交
於點
，並連線
，
∵
，
，
∴
為等邊三角形．
∴
．
∵∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴當點
從
出發運動到
時，點
始終在直線
上運動，運動軌跡為線段，
∵當點
與
重合時，點
與點
重合；
當點
與
重合時，點
為
與
的交點
；
∴點
運動的軌跡長為線段
的長．
∵
，
∴
，
∴
，
∴點
運動的軌跡長
．
另解：
如圖，以點
為原點，射線
為
軸的非負半軸建立平面直角座標系，
則點
，
，
，
．
設點
的座標為
，則點
的座標為
，
易得直線
的解析式為
，
直線
的解析式為
，
聯立並解得點
的座標為
，
所以點
的座標滿足
，即點
的運動軌跡為線段．
當
時，點
的座標為
，
當
時，點
的座標為
．
∴點
的運動軌跡長為
．
本題壓軸一問考查動點軌跡的問題，題目的問法與2021年越秀區一模的壓軸題類似。只是軌跡由弧變成直線，解法類似。
【總結】
凡是動點軌跡問題，先判斷軌跡的形狀，一般分為兩種：線段或弧．判斷時只需取三個特殊點，如起點，中間點和終點．判斷形狀後再證明．
像本題這種運動軌跡為線段的問題，類似物理中的參照系，需要選擇一些固定的點或線，根據相對位置不變來判斷．
