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2021年郴州
中考數學幾何壓軸題。題目以等腰直角三角形的旋轉為背景，涉及動點軌跡問題，以及等腰三角形的存在性問題。題目難度一般，不過問法比較典型，值得研究。
【中考真題】
（2021•郴州）如圖1，在等腰直角三角形
中，
，點
，
分別為
，
的中點，
為線段
上一動點（不與點
，
重合），將線段
繞點
逆時針方向旋轉
得到
，連線
，
．
（1）證明：
；
（2）如圖2，連線
，
，
交
於點
．
①證明：在點
的運動過程中，總有
；
②若
，當
的長度為多少時
為等腰三角形？
【分析】
（1）由旋轉的性質得到邊角等量關係，再根據SAS證明全等即可。
（2）①由圖2可以發現△AEH≌△AFG，由於∠HAG=90°，若要證明∠HFG=90°，只需得到四邊形AHFG對角互補即可。
由於全等可以得到∠AHE=∠AGF，結論易得。
②當△AGQ為等腰三角形時，需要進行分類討論。需要分3種情況，但是由於點H線上段EF上運動，且不與點E、F重合，那麼只需分為兩種情況討論即可。
即型別一：當AQ=GQ時，∠AQG=90°。
還有型別二：當AG=GQ時，∠GAQ=∠GQA=75°。
【答案】
（1）證明：如圖1，
由旋轉得：
，
，
，
，
，
；
（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形
中，
，
，
點
，
分別為
，
的中點，
是
的中位線，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②分兩種情況：
如圖3，
時，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形
是正方形，
，
，
，
當
的長度為
時，
為等腰三角形；
如圖4，當
時，
，
，
，
，
，
當
的長度為2時，
為等腰三角形；
綜上，當
的長度為
或2時，
為等腰三角形．
