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2021年鄂爾多斯
中考數學壓軸題。半形模型，利用旋轉構造輔助線，進行線段的轉化。本題的難度不大。不過壓軸一問中，旋轉後並沒有得到三點共線，此類問題較少出現，值得關注和學習。
【中考真題】
（2021•鄂爾多斯）旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時往往可以透過旋轉解決問題．
（1）
嘗試解決
：如圖①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M是BC上的一點，BM＝1cm，CM＝2cm，將△ABM繞點A旋轉後得到△ACN，連線MN，則AM＝ cm．
（2）
類比探究
：如圖②，在“箏形”四邊形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC於點B，AD⊥CD於點D，點P、Q分別是AB、AD上的點，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周長．（結果用a表示）
（3）
拓展應用
：如圖③，已知四邊形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2
，BC＝2，求四邊形ABCD的面積．
【分析】
（1）透過旋轉，可以得到△CMN為直角三角形，然後根據勾股定理得到MN的長，利用等腰直角三角形的性質求出AM的長。或者直接過點A作BC的垂線，也可以根據勾股定理得到結論。
（2）根據前面的提示，將△PCB繞點C順時針旋轉，是的BC落在DC處。然後可以得到PQ=PB+QD，進而把△APQ的周長轉化為AP+AQ+QD+PB，也就是2a。
（3）有了前面兩題的基礎，那麼可以考慮透過旋轉進行構造輔助線。先連線BD，將△BCD繞點D順時針旋轉60度，是的CD與AD重合。如下圖所示：
可以發現旋轉後B、A、B′並沒有在一條直線上。那麼需要連線BB′，此時只需把等邊△BB′D的面積減去△BAB′的面積即可。由於BA、B′A已知，也∠BAB′的度數為135°，所以很容易得到結果。
【答案】
解：（1）如圖①，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由旋轉得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN，
∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形，
∵CM＝2，
∴MN
，
∴AM
MN
（cm）；
故答案為：
；
（2）如圖②，延長AB到E，使BE＝DQ，連線CE，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠CDQ＝90°，
在△CDQ和△CBE中，
，
∴△CDQ≌△CBE（SAS），
∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE，
∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，
∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE，
在△QCP和△ECP中，
，
∴△QCP≌△ECP（SAS），
∴PQ＝PE，
∴△APQ的周長＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP＝AQ+BE+PB+AP＝AQ+DQ+AB＝2AB＝2a；
（3）如圖③，連線BD，由於AD＝CD，所以可將△BCD繞點D順時針方向旋轉60°，得到△DAB′，
連線BB′，延長BA，作B′E⊥BA於E，
由旋轉得：△BCD≌△B′AD，
∴BD＝B‘D，∠BDB’＝60°，∠CBD＝∠AB‘D，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形BDB′A，△BDB’是等邊三角形，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAB′＝∠BDB‘+∠AB’D+∠ABD＝135°，
∴∠B′AE＝45°，
∵B′A＝BC＝2，
∴B′E＝AE
，
∴BE＝AB+AE＝2
3
，
∴BB′
2
，
設等邊三角形的高為h，
則勾股定理得：h
，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′
2
5
2．
