一、知識點
1、函式的零點
對於函式 ，我們把使 的實數 叫做函式 的零點。
2、方程的根與函式的零點的關係：
方程 有實數根 函式 的圖象與 軸有交點 函式 有零點。
3、函式零點的存在性
對函式零點的存在性應從以下幾方面進一步理解：
（1）函式的圖象是連續的，當它透過零點（不是二重零點）時，函式值變號；
（2）相鄰兩個零點之間的所有函式值保持同號；
（3）在函式的某一單調區間內，至多有一個零點；
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（4）如果函式 在一個區間 上的圖象不間斷，並且它的兩個端點處的函式值異號，即 ，則這個函式在這個區間至少有一個零點。
4、二分法
對於在區間［a，b］上連續不斷、且f（a）· f（b）＜0的函式y＝f（x），透過不斷地把函式f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。
5、用二分法求方程的近似解
步驟：
（1）確定區間［a，b］，驗證f（a）·f（b）＜0，給定精確度ε；
（2）求區間（a，b）的中點x 1 ；
（3）計算f（x 1 ）；
1）若f（x 1 ）＝0，則x 1 就是函式的零點；
2）若f（a）·f（x 1 ）＜0，則令b＝x 1 （此時零點x 0 ∈（a，x 1 ））；
3）若f（b）·f（x 1 ）＜0，則令a＝x 1 （此時零點x 0 ∈（x 1 ，b））。
（4）判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點的近似值a（或b）；否則重複2～4。
說明：
1）二分法是求一般函式的零點的一種通法，使用二分法的前提條件是：函式零點的存在性。
2）二分法中運用了“逐步逼近”的數學思想，它是透過不斷把函式的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值（即方程近似解）。“逐步逼近”思想在許多數學知識中都有很好的運用，希望同學們在學習中要多加領會。
3）二分法求函式零點的不足：二分法的思路雖然簡單，但一方面，若函式 在 上有幾個零點時，則只能算出一個零點；另一方面，即使函式 在 上有零點，也未必有 ，這就限制了二分法的使用範圍。
二、例題
1、方程的根與函式的零點
例1、
已知函式 的圖象，如圖所示，則（ ）
A。
B。
C。
D。
分析
：
這個問題中 、 、 、 四個待定係數要由圖象及方程的根來確定。
解析：
從圖中可得 ，∴ ，
又知 還有兩個零點，可設函式解析式為：
。
當 時， ，∴ ，又由 得，
。
故答案選A。
小結：
要會根據函式的零點來設解析式，掌握判斷最高次項係數符號的方法。該例的解法還很多，同學們不妨再探討一下其他解法。
例2、
關於 的一元二次方程 的兩根分別落在區間 ， 內，求實數 的取值範圍。
分析：
該例是一元二次方程根的分佈問題，解題關鍵是由圖象的分佈要求，列出不等式求解。
解析：
設二次函式 ，其對稱軸為 ，圖象開口向上，如圖所示。
依題意得
，解得 ，
∴實數 的取值範圍為 。
小結：
函式與方程之間有著密切的聯絡，在解決其中某一方面的問題時，經常轉化為另一方面的問題，在這個轉化過程中，函式的零點起著非常重要的作用。
例3、
已知 a 是實數，函式 ，如果函式 在區間 上有零點，求 a 的取值範圍。
分析：
利用 在區間 上有零點，畫出草圖，列出不等式求解。
解析：
若 ， ，顯然 在 上沒有零點，所以 。
（1）當
恰有一個零點在 上時，則
或
解得 或 。
（2）當 在 上有兩個零點時，則
或
解得 或 。
綜上，所求實數 的取值範圍是 或 。
小結：
當函式在某區間有零點時，要注意對零點的個數加以分析和討論。
2、利用函式零點解不等式
例4、
求函式 的零點，並指出當 ， 時 的取值範圍。
分析：
該例主要考查二次函式 與一元二次方程 間的關係，關鍵是作出 的簡圖。
解析：
解方程 得 ， ，
∴函式 的零點為 ，1， 。
畫出函式的簡圖，如圖所示，從圖象可以看出：
當 時， ；當 或 時， 。
故函式 的零點為 ，1；
時， 的取值範圍為 ；
時， 的取值範圍為 。
小結：
一元二次函式的圖象是連續的，當它透過零點（不是二重零點）時，函式值變號，且在任意兩個相鄰的變號零點之間所有函式值保持同號，根據二次函式變號零點的這一性質，可以求解一元二次不等式。
3、用二分法求方程的近似解
例5、
用二分法求函式 的一個正零點（精確到0。1）。
分析：
按照用二分法求方程近似解的一般步驟求解。
解析：
由於要求的是函式的一個正零點，因此可以考慮首先確定一個包含正零點的恰當區間，如 ， ， ，故可取區間 為計算的初始區間（當然 也可以），用二分法逐次計算，列表如下：
區間
中點
中點函式值
由上表計算可知，區間 的長度 ，所以可以將 的近似值 作為函式零點的近似值。
小結：
在用二分法求函式零點時，若函式能因式分解，可先將其因式分解，進而求得零點，再依據零點確定一個包含零點的恰當區間。如本題可將 變形為 ，則函式零點為 ， ， ，再根據 選取一個恰當區間。
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